Exámen Ordinario de Cálculo Febrero 2011

Aquí os dejo las preguntas del examen de Cálculo del pasado Febrero 2011, junto a las solución propuesta por mi. Se admiten críticas.

Ejercicio: 1.a Resolver la ecuación $Z^{3}=8e^{i\frac{\pi}{2}}$ , expresando las raices en forma binómica.

Pues bién el desarrollo que he seguido ha sido el siguiente:

$z^3= 8 (Cos \displaystyle\frac{\pi}{2}+i Sen\displaystyle\frac{\pi}{2})$

$|z|= \sqrt[2]{8^2}= 8$

$Argumento= a =\displaystyle\frac{\pi}{2}$

Raices cúbicas: $W_k=\sqrt[3]{8}(Cos \displaystyle\frac{a+2k\pi}{3}+i Sen \displaystyle\frac{a+2k\pi}{3})$ ; con k € {0, 1, 2}

1.b Cálcular, $\lim_{x\to 0} \frac{x Cos (x) - Sen (x)}{x - x Cos(x)}$

considerando que
$x\cos x - \sen x\approx{-\dfrac{1}{3}x^3}\quad \wedge\quad x-x\cos x\approx{\dfrac{1}{2}x^3}\Longrightarrow{\displaystyle\lim_{x \to 0}{\frac{x\cos x -\sen x}{x-x\cos x}=\dfrac{-\dfrac{1}{3}x^3}{\dfrac{1}{2}x^3}\left|_{x\rightarrow{0}} }=-\dfrac{2}{3}$

Ejercicio: 2. Estudiar la continuidad y diferenciabilidad en el punto (0,0) de las funciones:

$F(x,y)= \begin{cases} xy\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2} & (x,y)\neq (0,0)\\ 0 & (x,y)=(0,0) \\ \end{cases}$

Ejercicio: 3.a Determinar y clasificar los puntos críticos de la función:

$F(x,y)= \frac{x^2}{2}-y^3+3x^2y-x$

Ejercicio: 3.b Sean las funciones:

$f:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$
definida por:

$F(x,y,z) = (e^{xy},z)$

$g:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$ definida por:

$G(x,y) = (x^{2},e^{y})$

Hallar la derivada de la función compuesta

$(g\circ f) \:\: \mathbb{R}^3\rightarrow \mathbb{R}^2$
mediante el producto de matrices jacobianas. Utilizar el resultado para calcular:
$j(g\circ f) (0,1,0)$

Ejercicio: 4. Estudiar la convergencia y sumar, si es posible, las siguientes series:
a.)

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n+3)(2n+5)}$

b.)

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}$

Saludos...

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