Aquí os dejos la resolución del ejercicio 1 de la relación de Ecuaciones Diferenciales.
$(3x-y+5)dy - (y+x-1)dx = 0$
$\displaystyle \frac {dy}{dx} = \frac {y+x-1}{3x-y+5}=\frac{Q(x,y)}{P(x,y)} $
Primero: Comprobar de que tipo es.
Separable: NO. P no depende solo de x o sólo de y.
Homogénea: NO. Pues $P(ax,ay) \neq P(x,y)$.
Exacta: NO pues $P_y \neq Q_x$
Vamos a intentar reducirla a homogénea.
Busco si se cortan en algún punto:
$\displaystyle \begin{Bmatrix} y+x-1=0 \\3x-y+5=0\end{Bmatrix} $
------------------------------------- Sumo ambas ec.
$\displaystyle 4x+4=0$
x= -1
y= 2 ---> Se cortan por tanto en el punto (-1,2)
1. Procedo al Primer Cambio de Variable: x = X-1, y=Y+2.
Sustituyo
$\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{y+x-1}{3x-y+5} \rightarrow \frac{dY}{dX}=\frac{Y+2+X-1-1}{3(X-1)-(Y+2)+5}$
$\displaystyle \frac{dY}{dX}= \frac {Y+X}{3X-3-Y-2+5} = \frac {Y+X}{3X-Y}$
YA TENGO UNA HOMOGENEA.
2. Procedo al Segundo Cambio de Variable: $\frac {Y}{X}= z$
De esta igualdad, tengo también que $Y=X*z$ y su derivada $\displaystyle Y^{\prime}=z+X\frac {dz}{dx}$
(Derivada del producto)
Divido toda la Homogénea obtenida anteriormente por X.
$\displaystyle \frac{dY}{dX}= \frac{\frac{Y}{X}+1}{3-\frac{Y}{X}}$
Sustituyo
$\displaystyle \frac{dY}{dX}=z+X \frac{dz}{dx}= \frac{z+1}{3-z}$
Opero
$\displaystyle X \frac {dz}{dx}= \frac{z+1}{3-z}-z = \frac{z+1-3z+z^2}{3-z}= \frac{z^2-2z+1}{3-z}$
Ahora tengo una de variable SEPARABLES, separo.
$\displaystyle X \frac {dz}{dx}= \frac{z^2-2z+1}{3-z}\rightarrow \frac{X}{dX} = \frac{z^2-2z+1}{3-z} * \frac{1}{dz}$
Le doy la vuelta a todo
$ \displaystyle \frac{dX}{X} = \frac{(3-z)dz}{z^2-2z+1}$
Ahora integramos ambos miembros
$\displaystyle \int \frac{1}{X} dX = \int \frac{3-z}{z^2-2z+1}dz$
$\displaystyle Ln|{X}|+Ln |{C_1}| = \int \frac{-(z-1)+2}{(z-1)^2}dz$
Para calcular la integral del segundo miembro, sustituyo $t= z-1$
$\displaystyle \int \frac{-t+2}{t^2}dt = \int \frac{-1+2}{t}dt = - Ln |t|+\frac{2}{t}+C =$
$\displaystyle = -Ln|z-1|+\frac{2}{z-1}+C$
Bueno y a partir de aquí no se como llegar a la solución que nos dio la profe, que según tengo copiado es:
$\displaystyle Ln |{X}|+Ln |{C_1}|= Ln |{z-1}|- \frac {2}{z-1}$
Aunque creo que se deberían deshacer los dos cambio que hicimos, ¿no?, el de $\displaystyle z=\frac{Y}{X} $ y el de $\displaystyle x=X-1$ e $\displaystyle y=Y+2$.
A ver si alguien se anima y me hecha un cable en terminar el ejercicio y dejarlo bien.
Saludos de Eloy Gutiérrez
$(3x-y+5)dy - (y+x-1)dx = 0$
$\displaystyle \frac {dy}{dx} = \frac {y+x-1}{3x-y+5}=\frac{Q(x,y)}{P(x,y)} $
Primero: Comprobar de que tipo es.
Separable: NO. P no depende solo de x o sólo de y.
Homogénea: NO. Pues $P(ax,ay) \neq P(x,y)$.
Exacta: NO pues $P_y \neq Q_x$
Vamos a intentar reducirla a homogénea.
Busco si se cortan en algún punto:
$\displaystyle \begin{Bmatrix} y+x-1=0 \\3x-y+5=0\end{Bmatrix} $
------------------------------------- Sumo ambas ec.
$\displaystyle 4x+4=0$
x= -1
y= 2 ---> Se cortan por tanto en el punto (-1,2)
1. Procedo al Primer Cambio de Variable: x = X-1, y=Y+2.
Sustituyo
$\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{y+x-1}{3x-y+5} \rightarrow \frac{dY}{dX}=\frac{Y+2+X-1-1}{3(X-1)-(Y+2)+5}$
$\displaystyle \frac{dY}{dX}= \frac {Y+X}{3X-3-Y-2+5} = \frac {Y+X}{3X-Y}$
YA TENGO UNA HOMOGENEA.
2. Procedo al Segundo Cambio de Variable: $\frac {Y}{X}= z$
De esta igualdad, tengo también que $Y=X*z$ y su derivada $\displaystyle Y^{\prime}=z+X\frac {dz}{dx}$
(Derivada del producto)
Divido toda la Homogénea obtenida anteriormente por X.
$\displaystyle \frac{dY}{dX}= \frac{\frac{Y}{X}+1}{3-\frac{Y}{X}}$
Sustituyo
$\displaystyle \frac{dY}{dX}=z+X \frac{dz}{dx}= \frac{z+1}{3-z}$
Opero
$\displaystyle X \frac {dz}{dx}= \frac{z+1}{3-z}-z = \frac{z+1-3z+z^2}{3-z}= \frac{z^2-2z+1}{3-z}$
Ahora tengo una de variable SEPARABLES, separo.
$\displaystyle X \frac {dz}{dx}= \frac{z^2-2z+1}{3-z}\rightarrow \frac{X}{dX} = \frac{z^2-2z+1}{3-z} * \frac{1}{dz}$
Le doy la vuelta a todo
$ \displaystyle \frac{dX}{X} = \frac{(3-z)dz}{z^2-2z+1}$
Ahora integramos ambos miembros
$\displaystyle \int \frac{1}{X} dX = \int \frac{3-z}{z^2-2z+1}dz$
$\displaystyle Ln|{X}|+Ln |{C_1}| = \int \frac{-(z-1)+2}{(z-1)^2}dz$
Para calcular la integral del segundo miembro, sustituyo $t= z-1$
$\displaystyle \int \frac{-t+2}{t^2}dt = \int \frac{-1+2}{t}dt = - Ln |t|+\frac{2}{t}+C =$
$\displaystyle = -Ln|z-1|+\frac{2}{z-1}+C$
Bueno y a partir de aquí no se como llegar a la solución que nos dio la profe, que según tengo copiado es:
$\displaystyle Ln |{X}|+Ln |{C_1}|= Ln |{z-1}|- \frac {2}{z-1}$
Aunque creo que se deberían deshacer los dos cambio que hicimos, ¿no?, el de $\displaystyle z=\frac{Y}{X} $ y el de $\displaystyle x=X-1$ e $\displaystyle y=Y+2$.
A ver si alguien se anima y me hecha un cable en terminar el ejercicio y dejarlo bien.
Saludos de Eloy Gutiérrez
Buenas. Si, solo tienes que deshacer los cambios, Eloy.
ResponderEliminarA mi personalmente me sale diferente la ultima integral que haces, no "veo" esa manipulacion que haces despues de hacer el cambio t=z+1, lo mismo estoy espeso.
En mi caso, yo la he hecho separando la fracción en dos inmediatas. En cualquier caso lo importante es que termines siempre deshaciendo todos los cambios que vayas haciendo.
Thk Miguel. Ahora anda corto de tiempo pero a ver si este "finde" le doy un achuchon y la termino y reviso, ademas de colgar algunas mas que tengo hechas.
ResponderEliminarSaludos.