E.D.O Relación Tema 0 Ejercicio 1.

Aquí os dejos la resolución del ejercicio 1 de la relación de Ecuaciones Diferenciales.

$(3x-y+5)dy - (y+x-1)dx = 0$

$\displaystyle \frac {dy}{dx} = \frac {y+x-1}{3x-y+5}=\frac{Q(x,y)}{P(x,y)} $

Primero:  Comprobar de que tipo es.
Separable: NO. P no depende solo de x o sólo de y.
Homogénea: NO. Pues $P(ax,ay) \neq P(x,y)$.
Exacta: NO pues $P_y \neq Q_x$

Vamos a intentar reducirla a homogénea.

Busco si se cortan en algún punto:

$\displaystyle \begin{Bmatrix} y+x-1=0 \\3x-y+5=0\end{Bmatrix} $
-------------------------------------  Sumo ambas ec.
$\displaystyle 4x+4=0$

x= -1
y= 2  ---> Se cortan por tanto en el punto (-1,2)

1. Procedo al Primer Cambio de Variable:  x = X-1,  y=Y+2.

Sustituyo
$\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{y+x-1}{3x-y+5} \rightarrow  \frac{dY}{dX}=\frac{Y+2+X-1-1}{3(X-1)-(Y+2)+5}$

$\displaystyle \frac{dY}{dX}= \frac {Y+X}{3X-3-Y-2+5} = \frac {Y+X}{3X-Y}$

YA TENGO UNA HOMOGENEA.

2. Procedo al Segundo Cambio de Variable: $\frac {Y}{X}= z$

De esta igualdad, tengo también que $Y=X*z$  y su derivada $\displaystyle Y^{\prime}=z+X\frac {dz}{dx}$
(Derivada del producto)

Divido toda la Homogénea obtenida anteriormente por X.
$\displaystyle \frac{dY}{dX}= \frac{\frac{Y}{X}+1}{3-\frac{Y}{X}}$

Sustituyo

$\displaystyle \frac{dY}{dX}=z+X \frac{dz}{dx}= \frac{z+1}{3-z}$

Opero
$\displaystyle X \frac {dz}{dx}= \frac{z+1}{3-z}-z = \frac{z+1-3z+z^2}{3-z}= \frac{z^2-2z+1}{3-z}$

Ahora tengo una de variable SEPARABLES, separo.
$\displaystyle X \frac {dz}{dx}= \frac{z^2-2z+1}{3-z}\rightarrow \frac{X}{dX} = \frac{z^2-2z+1}{3-z} * \frac{1}{dz}$
 Le doy la vuelta a todo
$ \displaystyle \frac{dX}{X} = \frac{(3-z)dz}{z^2-2z+1}$

 Ahora integramos ambos miembros

$\displaystyle \int \frac{1}{X} dX = \int \frac{3-z}{z^2-2z+1}dz$

$\displaystyle  Ln|{X}|+Ln |{C_1}|  = \int \frac{-(z-1)+2}{(z-1)^2}dz$

Para calcular la integral del segundo miembro, sustituyo $t= z-1$

$\displaystyle \int \frac{-t+2}{t^2}dt = \int \frac{-1+2}{t}dt = - Ln |t|+\frac{2}{t}+C =$

$\displaystyle = -Ln|z-1|+\frac{2}{z-1}+C$

 Bueno y a partir de aquí no se como llegar a la solución que nos dio la profe, que según tengo copiado es:

$\displaystyle Ln |{X}|+Ln |{C_1}|= Ln |{z-1}|- \frac {2}{z-1}$
Aunque creo que se deberían deshacer los dos cambio que hicimos, ¿no?, el de $\displaystyle z=\frac{Y}{X} $ y el de  $\displaystyle x=X-1$ e $\displaystyle y=Y+2$.

A ver si alguien se anima y me hecha un cable en terminar el ejercicio y dejarlo bien.


Saludos de Eloy Gutiérrez