Hola a tod@s. El otro dia hice un examen de cálculo en el que pedían calcular por dos procedimientos distintos el siguiente limite:
\displaystyle\lim_{x \to 0}{\displaystyle\frac{1-\sqrt{1-x}}{x}}
Pues bien él primer método que se me ocurrió para hacerlo fue el método de L'Hôpital y como segundo método utilizaré el método de los conjugados, no sé si podría emplear aqui algún otro método:
f(x)= \displaystyle 1-\sqrt{1-x} y su derivada f'(x)= \displaystyle\frac{1}{2\sqrt{1-x}}
g(x)=\displaystyle x y su derivada g'(x)= \displaystyle 1
Con lo que obtenemos que \displaystyle\lim_{x \to 0}\displaystyle\frac{1}{2\sqrt{1-x}}= \frac{1}{2}
\displaystyle\lim_{x \to 0}{\displaystyle\frac{1-\sqrt{1-x}}{x}}= \displaystyle\lim_{x \to 0}{\displaystyle\frac{(1-\sqrt{1-x})(1+\sqrt{1-x})}{x(1+\sqrt{1-x})}}
operando obtengo \displaystyle \frac {1+\sqrt{1-x}-\sqrt{1-x}-1+x} {x(1+\sqrt{1-x})}
por lo que simplificando me queda \displaystyle \lim_{x \to 0} {\frac{1}{1+\sqrt{1-x}}} = \frac{1}{2}
\displaystyle\lim_{x \to 0}{\displaystyle\frac{1-\sqrt{1-x}}{x}}
Pues bien él primer método que se me ocurrió para hacerlo fue el método de L'Hôpital y como segundo método utilizaré el método de los conjugados, no sé si podría emplear aqui algún otro método:
Método 1. L'Hôpital
Calculo las derivadas del numerador f(x) y denominador g(x) de forma independiente.f(x)= \displaystyle 1-\sqrt{1-x} y su derivada f'(x)= \displaystyle\frac{1}{2\sqrt{1-x}}
g(x)=\displaystyle x y su derivada g'(x)= \displaystyle 1
Con lo que obtenemos que \displaystyle\lim_{x \to 0}\displaystyle\frac{1}{2\sqrt{1-x}}= \frac{1}{2}
Método 2. Conjugado
Multiplico el numerador y el denominador por el conjugado del numerador.\displaystyle\lim_{x \to 0}{\displaystyle\frac{1-\sqrt{1-x}}{x}}= \displaystyle\lim_{x \to 0}{\displaystyle\frac{(1-\sqrt{1-x})(1+\sqrt{1-x})}{x(1+\sqrt{1-x})}}
operando obtengo \displaystyle \frac {1+\sqrt{1-x}-\sqrt{1-x}-1+x} {x(1+\sqrt{1-x})}
por lo que simplificando me queda \displaystyle \lim_{x \to 0} {\frac{1}{1+\sqrt{1-x}}} = \frac{1}{2}
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