Hola a tod@s, aquí os dejo el ejercicio 1.a que me salió en el examen de cálculo de sept del 2011 y como lo he resuelto, por si a alguien le sirve de ayuda por un lado y por otro por si se me coló algún error.
Ejercicio: Resolver $x^4+3x^2-10=0$ en $\mathbb{R}$ y en $\mathbb{C}$
Solución Propuesta: (Ecuación bicuadrática, cambio de variable) Con eso obtengo las raices.
$z= x^2$ con ésto obtenemos al sustituir $z^2+3z-10=0$ a la que aplicamos la formula general para resolver ec. de segundo grado $\displaystyle z=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
$\displaystyle z = \frac{-3\pm \sqrt{9-4*1*(-10)}}{2}$ de aquí obtenemos como posibles valores de z, z=2 y z=-5
Al retornar el cambio de variable obtengo $\displaystyle x= \pm\sqrt{2}$ y $\displaystyle x= \pm\sqrt{-5}$
Estas cuatro soluciones, coinciden con las coordenadas de los vertices de un poligono de cuatro lados.
En $\mathbb{C}$ quedaría entonces factorizado el polinomio de la siguiente forma:
$P(x)=(x-\sqrt 2)(x+\sqrt 2)(x+\sqrt{5i})(x-\sqrt{5i})$
y en $\mathbb{R}$
$P(x)=(x^2-2)(x^2+5)$
Saludos a tod@s.
Ejercicio: Resolver $x^4+3x^2-10=0$ en $\mathbb{R}$ y en $\mathbb{C}$
Solución Propuesta: (Ecuación bicuadrática, cambio de variable) Con eso obtengo las raices.
$z= x^2$ con ésto obtenemos al sustituir $z^2+3z-10=0$ a la que aplicamos la formula general para resolver ec. de segundo grado $\displaystyle z=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
$\displaystyle z = \frac{-3\pm \sqrt{9-4*1*(-10)}}{2}$ de aquí obtenemos como posibles valores de z, z=2 y z=-5
Al retornar el cambio de variable obtengo $\displaystyle x= \pm\sqrt{2}$ y $\displaystyle x= \pm\sqrt{-5}$
Estas cuatro soluciones, coinciden con las coordenadas de los vertices de un poligono de cuatro lados.
En $\mathbb{C}$ quedaría entonces factorizado el polinomio de la siguiente forma:
$P(x)=(x-\sqrt 2)(x+\sqrt 2)(x+\sqrt{5i})(x-\sqrt{5i})$
y en $\mathbb{R}$
$P(x)=(x^2-2)(x^2+5)$
Saludos a tod@s.
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