Solución Pregunta 1.b. Ex. de Septiembre

Hola a tod@s. El otro dia hice el examen de septiembre de cálculo en el que me pedian calcular por dos procedimientos distintos el siguiente límite:

$\displaystyle\lim_{x \to 0}{\displaystyle\frac{1-\sqrt{1-x}}{x}}$

Pues bien él primer método que se me ocurrió para hacerlo fué el método de L'Hôpital y como segundo metodo utilizaré el metodo de los conjugados, no sé si podría emplear aqui algún otro método:

Método 1. L'Hôpital
Calculo las derivadas del numerador f(x) y denominador g(x) de forma independiente.
$f(x)= \displaystyle 1-\sqrt{1-x}$ y su derivada $f'(x)= \displaystyle\frac{1}{2\sqrt{1-x}}$
$g(x)=\displaystyle x$ y su derivada $g'(x)= \displaystyle 1$

Con lo que obtenemos que $\displaystyle\lim_{x \to 0}\displaystyle\frac{1}{2\sqrt{1-x}}= \frac{1}{2}$

Método 2. Conjugado
Multiplico el numerador y el denominador por el conjugado del numerador.
$\displaystyle\lim_{x \to 0}{\displaystyle\frac{1-\sqrt{1-x}}{x}}= \displaystyle\lim_{x \to 0}{\displaystyle\frac{(1-\sqrt{1-x})(1+\sqrt{1-x})}{x(1+\sqrt{1-x})}}$

operando obtengo $\displaystyle \frac {1+\sqrt{1-x}-\sqrt{1-x}-1+x} {x(1+\sqrt{1-x})}$

por lo que simplificando me queda $\displaystyle \lim_{x \to 0} {\frac{1}{1+\sqrt{1-x}}} = \frac{1}{2}$

Bueno, pues eso es todo ;).

Saludos.